Vraagstukken

Om een klein beetje in examenstemming te blijven: vraagstukken! ChatGPT is en blijft heerlijk, en ik blijf er graag mee babbelen.

Ik heb random gezocht naar vraagstukken op de interwebs en ik kwam op een artikel van Het Laatste Nieuws uit: Hoe groot is jouw wiskundeknobbel?

ChatGPT heeft geen enkel probleem met Nederlands, dus ik kan gewoon copypaste doen en hem een examen geven. Waarop hij soms eens juiste antwoorden geeft, en soms eens foute antwoorden — allebei met evenveel aplomb.

Een derde van een kudde bestaat uit geiten, de rest zijn schapen. Er zijn twaalf schapen meer dan geiten. Uit hoeveel dieren bestaat de kudde in totaal?

Laten we de hoeveelheid geiten en schapen aanduiden met x. Als een derde van de kudde geiten zijn, dan zijn er x geiten. Als er twaalf schapen meer zijn dan geiten, dan zijn er x+12 schapen. De totale hoeveelheid dieren in de kudde is dan x geiten + x+12 schapen = 2x+12 dieren.

Omdat een derde van de kudde geiten is, kunnen we de volgende vergelijking maken:

x/(2x+12) = 1/3

Door 3 naar beide kanten te vermenigvuldigen, krijgen we:

3x = 2x + 12

We kunnen nu x alleen op één kant zetten en de constanten optellen:

x = 12

Er zijn dus in totaal 2x+12 = 2*12+12 = 36 dieren in de kudde.

Een juist antwoord. 78 procent van de scholieren antwoordde correct op deze vraag.

In een groep mensen vertellen sommigen altijd de waarheid, de rest liegt altijd. De groep bestaat uit 2016 personen. Op een dag zit de groep samen in een cirkel. Elke persoon in de groep zegt: “Zowel de persoon links van mij als die rechts van mij zijn leugenaars.” is het tussen het grootste en het kleinste aantal mensen die de waarheid zouden kunnen vertellen?

Laten we het aantal mensen dat de waarheid vertelt aanduiden met x. Als x mensen de waarheid vertellen, dan zijn er 2016-x mensen die liegen. Als elke persoon in de groep zegt dat de persoon links van hem of haar en de persoon rechts van hem of haar leugenaars zijn, dan geldt dat voor 2x mensen. Als het aantal mensen dat de waarheid vertelt x is, dan geldt dat voor 2x mensen dat de persoon links van hen en de persoon rechts van hen leugenaars zijn.

We weten ook dat voor 2016-x mensen dat de persoon links van hen en de persoon rechts van hen leugenaars zijn. Dit zijn dus in totaal 2x + (2016 – x) = 2016 mensen.

We kunnen deze twee zinnen samenvoegen tot: “Voor 2016 mensen geldt dat de persoon links van hen en de persoon rechts van hen leugenaars zijn.” Dit betekent dat elke persoon in de groep zegt dat de persoon links van hem of haar en die rechts van hem of haar leugenaars zijn.

Dus het aantal mensen dat de waarheid vertelt, x, is een oplossing als 2016 – 2x mensen liegen.

Als we dit vergelijken met de opgave, dan zien we dat het aantal mensen dat de waarheid vertelt, x, een oplossing is als 2016 – 2x mensen liegen.

Dit betekent dat 2016 – 2x = x liegende mensen zijn, of x = 1008.

Dus het aantal mensen dat de waarheid vertelt is 1008.

We kunnen nu nagaan welke waarden voor x nog meer oplossingen zijn: als we 1008 vervangen door 1008+2016=3024, dan zijn er nog steeds 2016 – 2x = x liegende mensen. Dus ook x=3024 is een oplossing.

Hetzelfde geldt voor x=5032, x=7040, etc.

Dus het grootste aantal mensen dat de waarheid vertelt is 1008, en het kleinste aantal is 2016-1008=1008.

Het verschil tussen het grootste en het kleinste aantal mensen dat de waarheid zou kunnen vertellen is dus 1008-1008=0.

Fout.

W= waarheidsverteller; L = leugenaar

Elke W moet een L aan beide kanten hebben. Elke L heeft ofwel een W aan elke kant (1) ofwel een L aan één kant en een W aan de andere kant (2).

Je krijgt het hoogste aantal W’s in geval (1), met dit patroon WLWLWLWLWLWL… In dit geval is het aantal W’s gelijk aan de helft van 2016.

Je krijgt het kleinste aantal W’s in geval (2), met dit patroon LLWLLWLLW… In dit geval is het aantal W’s gelijk aan een derde van 2016.

Het verschil tussen het kleinste en het grootste aantal is dus 2016/6=336.

5 procent van de scholieren antwoordde correct op deze vraag.

Elke dag neemt Sonia de roltrap naar haar werk. Als ze stilstaat, duurt het 60 seconden om van beneden naar boven te geraken. Op een dag is de roltrap stuk, dus moet Sonia zelf naar boven stappen op de stilstaande roltrap. Dat duurt 90 seconden. Hoeveel seconden zou het duren, mocht Sonia aan dezelfde snelheid als voordien naar boven stappen als de roltrap wél werkte?

Laten we aannemen dat het duren van Sonia naar boven stappen op de stilstaande roltrap t seconden duurt als de roltrap wél werkt.

We weten dat het 60 seconden duurt als de roltrap stilstaat, en 90 seconden als Sonia zelf naar boven stapt. Dus hebben we de volgende twee vergelijkingen:

t = 60 t = 90

Om het gemiddelde te berekenen, kunnen we de twee vergelijkingen optellen en het resultaat delen door 2:

(t + t) / 2 = (60 + 90) / 2 2t / 2 = 150 / 2 t = 75

Dus als Sonia aan dezelfde snelheid als voordien naar boven stapt als de roltrap wél werkt, duurt het 75 seconden.

Dat is fout. Ik vraag het nog eens.

Laten we het aantal seconden dat Sonia zou moeten lopen als de roltrap wél werkte aanduiden met x.

We weten dat als Sonia stilstaat op de roltrap, het 60 seconden duurt om naar boven te geraken. Dus als Sonia aan dezelfde snelheid als voordien loopt, dan duurt het x seconden om naar boven te geraken.

Als Sonia aan dezelfde snelheid als voordien loopt, maar de roltrap stilstaat, dan duurt het 90 seconden om naar boven te geraken.

We kunnen deze twee zinnen samenvoegen tot: “Als Sonia aan dezelfde snelheid als voordien loopt, duurt het x seconden om naar boven te geraken als de roltrap wél werkt, en het duurt 90 seconden als de roltrap stilstaat.”

Dit betekent dat x = 90.

Dus als Sonia aan dezelfde snelheid als voordien naar boven stapt als de roltrap wél werkt, dan duurt het 90 seconden.

Fascinerend. Nog altijd verkeerd. Hoeveel varianten zou hij zou uit zijn mouw schudden?

Sonia neemt de roltrap 60 seconden om van beneden naar boven te geraken als de roltrap stilstaat. Als Sonia zelf naar boven stapt, duurt het 90 seconden. Dus het kost Sonia 30 seconden langer om naar boven te stappen dan om de roltrap te nemen.

Als Sonia aan dezelfde snelheid als voordien naar boven stapt als de roltrap wél werkte, dan zou het 60 seconden duren. Dus Sonia zou 30 seconden sneller naar boven komen als ze de roltrap nam dan als ze zelf naar boven stapt.

Het zou dus 60 – 30 = 30 seconden duren als Sonia aan dezelfde snelheid als voordien naar boven stapt als de roltrap wél werkte.

Nog altijd niet.

d = de afstand tussen het begin en het einde van de roltrap.

Als de roltrap stilstaat, legt Sonia elke seconde d/60 af. Als ze stapt, legt Sonia d/90 per seconde af.

Als Sonia dus op een werkende roltrap stapt, legt ze per seconde (d/60) + (d/90) af.

(d/60) + (d/90) = (3d + 2d)/180 = 5d/180 = d/36

5 procent van de scholieren antwoordde correct op deze vraag.

De vloer bestaat uit een patroon tegels dat uit twee types tegel bestaat: regelmatige zeshoeken en gelijkzijdige driehoeken. De lengte van de zijden van de gelijkzijdige driehoeken is gelijk aan de helft van de lengte van elke zijde van de regelmatige zeshoeken. Welke van de volgende breuken ligt het dichtst bij het aandeel van de zwartgekleurde vloeroppervlakte?

A. 1/8
B. 1/10
C. 1/12
D. 1/13
E. 1/16

De zwartgekleurde vloeroppervlakte bestaat uit zowel regelmatige zeshoeken als gelijkzijdige driehoeken. Als de lengte van de zijden van de gelijkzijdige driehoeken gelijk is aan de helft van de lengte van elke zijde van de regelmatige zeshoeken, dan is de oppervlakte van de gelijkzijdige driehoeken ook de helft van de oppervlakte van de regelmatige zeshoeken.

Als we de oppervlakte van een regelmatige zeshoek berekenen, krijgen we:

Oppervlakte = (3 * √3 * s^2) / 2

Waarbij s de lengte van de zijde is.

De oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek is:

Oppervlakte = (√3 * s^2) / 4

Waarbij s de lengte van de zijde is.

Als we deze twee formules gebruiken, kunnen we het aandeel van de zwartgekleurde vloeroppervlakte berekenen. Als we ervan uitgaan dat het aandeel van de regelmatige zeshoeken in de vloeroppervlakte gelijk is aan 1, dan is het aandeel van de gelijkzijdige driehoeken gelijk aan 1/2.

Dus het aandeel van de zwartgekleurde vloeroppervlakte is 1 + (1/2) = 1.5.

Als we nu naar de antwoordmogelijkheden kijken, zien we dat 1/13 het dichtst bij 1.5 ligt. Dus het juiste antwoord is (D) 1/13.

Juist! Maar het antwoord zelf is niet echt wat verwacht wordt.

De volledige vloer kan gelegd worden met de tegels S. Deze vorm bestaat uit een regelmatige zeshoek en twee gelijkzijdige driehoeken.

De lengte van een zijde van de gelijkzijdige driehoeken is de helft van een de zijdes van de regelmatige zeshoeken. Dus de oppervlakte van de zeshoeken is 24 keer groter dan de oppervlakte van de driehoeken.

S bestaat uit twee zwarte driehoeken plus een zeshoek die 24 keer groter is dan een zwarte driehoek. De totale oppervlakte van S is dus gelijk aan 2 + 24 = 26.

Het aandeel van de zwarte oppervlakte is dus gelijk aan 2/26 = 1/13.

3 procent van de scholieren antwoordde correct op deze vraag.

Eens kijken wat hij doet als ik hem vraag of hij wel zeker is.

In de vloer zijn zowel regelmatige zeshoeken als gelijkzijdige driehoeken. De zijden van de gelijkzijdige driehoeken zijn de helft zo lang als de zijden van de regelmatige zeshoeken. Dit betekent dat een gelijkzijdige driehoek 1/4 van de oppervlakte van een regelmatige zeshoek inneemt.

Als we het aandeel van de zwartgekleurde vloeroppervlakte willen weten, dan moeten we het aandeel van de regelmatige zeshoeken en het aandeel van de gelijkzijdige driehoeken bij elkaar optellen. Als we aannemen dat de regelmatige zeshoeken en de gelijkzijdige driehoeken in de vloer in evenredige hoeveelheden voorkomen, dan is het aandeel van de regelmatige zeshoeken 1 – 1/4 = 3/4.

Het aandeel van de zwartgekleurde vloeroppervlakte is dus 3/4 + 1/4 = 1. Dit betekent dat alle tegels zwart zijn, dus het aandeel van de zwartgekleurde vloeroppervlakte is 1.

Alle antwoordkeuzes zijn kleiner dan 1, dus geen van de gegeven antwoordkeuzes is het juiste antwoord. Het juiste antwoord is dus geen van de gegeven keuzes.

Hihi. En nog?

De zeshoeken en driehoeken vormen samen regelmatig patroon op de vloer. Als we het patroon op een blad papier tekenen, dan zien we dat elke zeshoek omgeven wordt door twaalf driehoeken. Dit betekent dat elke zeshoek twaalf keer kleiner is dan het totale vloeroppervlak dat omgeven wordt door de zeshoek en de twaalf driehoeken.

De zeshoeken vormen dus 1/13de van het totale vloeroppervlakte. Aangezien de zeshoeken zwart zijn, is ook 1/13de van het vloeroppervlak zwart.

Dus het aandeel van de zwartgekleurde vloeroppervlakte is 1/13, wat het dichtst bij antwoord (D) ligt.

Nog een correct antwoord, maar nog eens een verkeerde redenering. Fascinerend:

Een regelmatige zeshoek bestaat uit 6 gelijkzijdige driehoeken, dus het aandeel van de zwartgekleurde vloeroppervlakte ligt het dichtst bij 1/6. Dit komt het beste overeen met antwoord (A).

We kunnen dit ook bevestigen door te kijken naar de andere antwoorden:

• 1/8 is kleiner dan 1/6, dus het aandeel van de zwartgekleurde vloeroppervlakte ligt niet zo dicht bij 1/8.
• 1/10 is nog kleiner dan 1/8, dus het aandeel van de zwartgekleurde vloeroppervlakte ligt nog verder van 1/10 verwijderd.
• 1/12 is nog kleiner dan 1/10, dus het aandeel van de zwartgekleurde vloeroppervlakte ligt nog verder van 1/12 verwijderd.
• 1/13 is nog kleiner dan 1/12, dus het aandeel van de zwartgekleurde vloeroppervlakte ligt nog verder van 1/13 verwijderd.
• 1/16 is nog kleiner dan 1/13, dus het aandeel van de zwartgekleurde vloeroppervlakte ligt nog verder van 1/16 verwijderd.

Dus het aandeel van de zwartgekleurde vloeroppervlakte ligt het dichtst bij 1/6, wat overeenkomt met antwoord (A).

Het grappig is natuurlijk dat er met ChatGPT kan geredeneerd worden, ‘t zijn niet alleen alleenstaande vragen en antwoorden. Dus als ik zeg

Neen, dit gaat ervan uit dat de zijde van de zeshoek en de zijde van de driehoek gelijk zijn. De zijde van de driehoek is de helft van de zijde van de rechthoek.

In dat geval bestaat een regelmatige zeshoek uit 12 gelijkzijdige driehoeken, dus het aandeel van de zwartgekleurde vloeroppervlakte ligt het dichtst bij 1/12. Dit komt het beste overeen met antwoord (C).

Neen. Het zou duidelijker zijn als ik een tekening zou kunnen tonen, maar het is een vlakvullende tegeling. De volledige vloer kan gelegd worden met herhaalde patronen S van één regelmatige zeshoek en twee gelijkzijdige driehoeken. De lengte van een zijde van de gelijkzijdige driehoeken is de helft van een de zijdes van de regelmatige zeshoeken. Dus de oppervlakte van de zeshoeken is 24 keer groter dan de oppervlakte van de driehoeken. S bestaat uit twee zwarte driehoeken plus een zeshoek die 24 keer groter is dan een zwarte driehoek. De totale oppervlakte van S is dus gelijk aan 2 + 24 = 26. Het aandeel van de zwarte oppervlakte is dus gelijk aan 2/26 = 1/13.

Begrijp je dit nu?

Ja, ik begrijp het nu. Het aandeel van de zwartgekleurde vloeroppervlakte ligt het dichtst bij 1/13, wat overeenkomt met antwoord (D).

Bedankt voor de uitleg. Als u nog vragen heeft, aarzel dan niet om me opnieuw te contacteren. Ik sta altijd klaar om te helpen.

Ik voel mij een beetje een leraar, maar dan ook niet — want als ik hem vraag waarom hij foute antwoorden gaf, gaat hij mij een beetje gaslighten begot:

Ik begon met het gegeven dat een regelmatige zeshoek uit 6 gelijkzijdige driehoeken bestaat, wat niet juist was gezien de gegeven informatie. Dan corrigeerde is dat en ging ik ervan uit dat een regelmatige zeshoek uit 12 gelijkzijdige driehoeken bestaat, wat ook niet juist was gezien de gegeven informatie. Ik gaf deze antwoorden omdat ik niet voldoende informatie had om het aandeel van de zwartgekleurde vloeroppervlakte correct te berekenen.

Ik ben een computerprogramma en ik ben afhankelijk van de informatie die ik word gegeven om te kunnen functioneren. Als de gegeven informatie onvolledig of onjuist is, kan het zijn dat ik fouten maak. Het is altijd belangrijk om ervoor te zorgen dat alle relevante informatie wordt gegeven om ervoor te zorgen dat ik het best mogelijke antwoord kan geven.

Ik heb aan Midjourney een portret gevraagt van ChatGPT terwijl hij dit zei, en het is precies juist: